CG：Lecture 02 Review of Linear AlgebraGraphics

向量关键属性

单位向量 Unit Vector

$U n i t V e c t o r = \hat{V e c t o r} / V e c t o r . l e n g t h$

笛卡尔坐标系 Cartesian Coordinates

向量加法 Vector Addition

点乘的结果是一个值

$\hat{a} \times \hat{b} =∥ \hat{a} ∥ \times ∥ \hat{b} ∥ \times \cos θ$

点乘的实际使用:

Measure how close two directions are 找到两个向量的夹角

$\cos θ = \frac{\hat{a} \cdot \hat{b}}{∥ \hat{a} ∥ \times ∥ \hat{b} ∥}$

Decompose a vector 向量投影

找一个向量在另一个向量上的投影
即将一个向量分解为另外两个正交向量的和

Determine forward / backward 点乘判断前后

点乘判断前后

向量叉乘

$∥ \hat{a} \times \hat{b} ∥ = ∥ \hat{a} ∥ \times ∥ \hat{b} ∥ \times \sin θ$

向量叉乘的矩阵表述

向量叉乘的矩阵

叉乘的实际作用：

Orthonormal bases and coordinate frames 建立三维空间中的直角坐标系

X轴 × Y轴 = Z轴

使用叉乘描述直角坐标系

判断坐标系规范

在一个空间中，如果存在 X轴 × Y轴 = Z轴的关系，
则称其为右手坐标系

用于判断空间关系

叉乘判断空间关系

判断P点在△ABC以内：
$(\vec{A B} \times \vec{A P}) z_{} \geq 0 且 (\vec{B C} \times \vec{B P}) z_{} \geq 0 且 (\vec{C A} \times \vec{C P}) z_{} \geq 0$

如果上述三个叉乘的z分量同号，P在△内部，
如果存在不一致的符号，P在△外部

计算机图形学中，矩阵最大的应用在图形的变换上。

维度规则

$A_{M \times N} \times B_{N \times P} = C_{M \times P}$

向量点乘和叉乘的矩阵描述

单位矩阵