CG：Lecture 04 Transformation Cont.

CGMath实践

在CGMath中实现如下封装：

三维坐标绕xyz轴旋转变换

3D Transforms 3维变换

3维坐标齐次化

点齐次坐标末尾为1，表示可以参与平移变换

$p_{h} = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}]$

3维向量齐次化

向量齐次坐标末尾为0，表示不受平移影响

$v_{h} = [\begin{matrix} u \\ v \\ w \\ 0 \end{matrix}]$

缩放因子w

$(x, y, z, w) \to (\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w})$

w是齐次坐标的缩放因子
- w=1：表示标准齐次坐标
- w≠1：通过除以w归一化得到实际坐标
透视投影中，w通常表示深度

3维齐次坐标

3维仿射变换公式

$[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & t_{x} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & t_{y} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] \Rightarrow {\begin{matrix} x^{'} = a_{11} x + a_{12} y + a_{13} z + t_{x} \\ y^{'} = a_{21} x + a_{22} y + a_{23} z + t_{y} \\ z^{'} = a_{31} x + a_{32} y + a_{33} z + t_{z} \\ 1 = 1 \end{matrix}$

3维仿射变换公式

3D Rotation 三维旋转

$R_{x} (α) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & - \sin α & 0 \\ 0 & \sin α & \cos α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

$R_{y} (β) = [\begin{matrix} \cos β & 0 & \sin β & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \sin β & 0 & \cos β & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

$R_{z} (γ) = [\begin{matrix} \cos γ & - \sin γ & 0 & 0 \\ \sin γ & \cos γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

围绕xyz轴进行旋转变换

Compose 3D Rotation 欧拉角公式

$R = R_{z} (γ) \times R_{y} (β) \times R_{x} (α)$

三维空间中任意旋转，都可以拆解成围绕x、y、z轴旋转的组合：

ZYX（Roll-Pitch-Yaw）常用于飞行器姿态
XYZ：常见顺序

三维旋转的拆解

ZYX顺序常用于飞行器姿态的表示：

Roll：绕x轴翻滚
Pitch：绕y轴升降
Yaw：绕z轴偏航

Rodrigues' Rotation Formula 罗德里格斯公式

将旋转α角度，拆分成围绕任意轴的旋转

表示绕任意旋转轴α旋转角度
不需要分解为绕坐标轴的旋转
适用于任意旋转轴，比欧拉角更通用
常用于旋转插值和旋转表示

$K = [\begin{matrix} 0 & - n_{z} & n_{y} \\ n_{z} & 0 & - n_{x} \\ - n_{y} & n_{x} & 0 \end{matrix}]$

$R = I + \sin (θ) K + (1 - \cos (θ)) K^{2}$

罗德里格斯公式

Viewing Transformation 观测变换

观测变换的目的

将视角观测到的三维世界转换为二维平面

Viewing Projection

MCP变换

Model

placing objects
在空间中摆放物体

View

placing camera
挑选合适的视角

Projection

拍摄

长焦 Orthographic
广角 Perspective

Lecture 04 Transformation Cont.

3D Transforms 3维变换

3D Rotation 三维旋转

Viewing Transformation 观测变换

View/Camera Transformation 视图变换

ModelViewTransformation 模型视图矩阵

Projection Transformation 投影变换

Orthographic Projection 透视投影

Frustum 透视投影视锥的定义