CG：Lecture 03 Transformation

CGMath实践

在CGMath中实现如下封装：

缩放变换

翻转变换（水平/垂直）

剪切变换

旋转变换

2维点位齐次化

2维向量齐次化

平移变换

求取逆矩阵

假设形状M为面/线图形，存在包围盒

形状M围绕指定点位P的旋转
- 1.将M沿PO平移
- 2.将M进行旋转
- 3.将M沿OP平移
形状M以自身为轴，进行水平/垂直翻转
- 1.将M的中点平移至点O
- 2.将M进行水平/垂直翻转
- 3.将M中点平移回原先的位置

Linear Transforms 线性变换

$x^{'} = M x$

$x^{'} = a x + b y y^{'} = c x + d y$

Linear Transforms

Scale Matrix 缩放矩阵

$[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} s_{x} & 0 \\ 0 & s_{y} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \Rightarrow {\begin{matrix} x^{'} = s_{x} x \\ y^{'} = s_{y} y \end{matrix}$

缩放变换

缩放变换矩阵

Reflection Matrix 翻转矩阵

沿y轴水平翻转:

$[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \Rightarrow {\begin{matrix} x^{'} = - x \\ y^{'} = y \end{matrix}$

水平翻转变换

水平翻转变换矩阵

Shear Matrix 剪切矩阵

$[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \Rightarrow {\begin{matrix} x^{'} = x + a y \\ y^{'} = y \end{matrix}$

剪切变换

剪切变换矩阵

Rotate Matrix 旋转矩阵

绕原点CCW（逆时针）旋转：

$[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \Rightarrow {\begin{matrix} x^{'} = x \cos θ - y \sin θ \\ y^{'} = x \sin θ + y \cos θ \end{matrix}$

旋转变换（逆时针）

旋转变换矩阵

旋转矩阵特性

旋转矩阵的逆等于它的转置
数学上，如果一个矩阵的逆等于它的转置，则称之为 正交矩阵

Homogeneous coordinates 齐次坐标

点位齐次化

$p_{h} = [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}]$

向量齐次化

向量具有平移不变性

$v_{h} = [\begin{matrix} u \\ v \\ 0 \end{matrix}]$

齐次坐标概念的延展

Vector + Vector = Vector
- 向量相加结果为向量
Point - Point = Vector
- 点位相减结果为向量
Point + Vector = Point
- 点位使用向量移动结果为点位
Point + Point = middlePoint
- 点位相加结果为中点

Transiation Matrix 平移矩阵

$[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}] \Rightarrow {\begin{matrix} x^{'} = x + t_{x} \\ y^{'} = y + t_{y} \\ 1 = 1 \end{matrix}$

平移变换

平移变换矩阵

Affine Transformations 仿射变换

$[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b & t_{x} \\ c & d & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}] \Rightarrow {\begin{matrix} x^{'} = a x + b y + t_{x} \\ y^{'} = c x + d y + t_{y} \\ 1 = 1 \end{matrix}$

仿射变换矩阵

Inverse Transform 逆变换

$x = M^{- 1} x'$

矩阵逆变换

Composing Transform 组合变换

图中变换可以分解成几步？

第一步：绕原点逆时针旋转45°
第二步：沿x轴正方向平移1个单位

如果变换的顺序发生改变，会影响变换结果

变换顺序很重要

多个变换矩阵的合成

Decomposing Complex Transforms 分解复杂变换

实现矩形以左下角为旋转点，逆时针旋转α角度

假设左下角为点P(pX, pY)；
原点为点O；

第一步：将点P平移至点O
第二步：以O为原点，将图形逆时针旋转α角度
第三步，将点P重新平移回(pX, pY)

$M = T (p_{X}, p_{Y}) \times R (α) \times T (- p_{X}, - p_{Y})$

$[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & p_{X} \\ 0 & 1 & p_{Y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} \cos α & - \sin α & 0 \\ \sin α & \cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & - p_{X} \\ 0 & 1 & - p_{Y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}]$